2. Keplersches Gesetz – die neue Formulierung
Als ich neulich im Unterricht eine neue Formulierung des zweiten Keplersches Gesetzes, nach dem der Fahrstrahl eines Planeten in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht, vorschlug, war die Ablehnung einhellig. Meine Formulierung lautete nämlich ein bisschen mathematischer, dass die Bahngeschwindigkeit v dem Abstand zum Zentralgestirn r indirekt proportional sei, und Sie werden diese Ablehnung sicher teilen, weil das sehr abstrakt klingt.
Der Vorteil ist aber, dass man daraus auch etwas ausrechnen kann, ein unbestreitbarer Vorzug mathematischer Zusammenhänge. Ist nämlich der Abstand und die Geschwindigkeit an einem Punkt der Bahn gegeben, kann man sie für jeden anderen Punkt sofort ausrechnen.
So ist zum Beispiel im Perihel einer elliptischen Bahn mit der großen Halbachse a und einer numerischen Exzentrizität ee=e/a die Bahngeschwindigkeit im Perihel vp gegeben, so weiß man, dass dort der Abstand rp=a-e ist. Hat man nun einen anderen Abstand r gegeben, der Bestandteil der gleichen Bahn ist, dann ist die dazugehörige Geschwindigkeit v:
Da r immer größer ist, als a-e, ist auch die Bahngeschwindigkeit überall kleiner als im Perihel, dem sonnennächsten Punkt.
Aufgabe: In der elliptischen Bahn, wie oben beschrieben, gibt es natürlich auch eine Untergrenze für die Geschwindigkeit. Wie groß ist diese und wo wird sie erreicht?
C.R. 19.11.2010