Gedichtladen

2. Keplersches Gesetz – die neue Formulierung

Als ich neulich im Unterricht eine neue Formulierung des zweiten Keplersches Gesetzes, nach dem der Fahrstrahl eines Planeten in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht, vorschlug, war die Ablehnung einhellig. Meine Formulierung lautete nämlich ein bisschen mathematischer, dass die Bahngeschwindigkeit v dem Abstand zum Zentralgestirn r indirekt proportional sei, und Sie werden diese Ablehnung sicher teilen, weil das sehr abstrakt klingt.

Der Vorteil ist aber, dass man daraus auch etwas ausrechnen kann, ein unbestreitbarer Vorzug mathematischer Zusammenhänge. Ist nämlich der Abstand und die Geschwindigkeit an einem Punkt der Bahn gegeben, kann man sie für jeden anderen Punkt sofort ausrechnen.

So ist zum Beispiel im Perihel einer elliptischen Bahn mit der großen Halbachse a und einer numerischen Exzentrizität ee=e/a die Bahngeschwindigkeit im Perihel v_p gegeben, so weiß man, dass dort der Abstand r_p=a-e ist. Hat man nun einen anderen Abstand r gegeben, der Bestandteil der gleichen Bahn ist, dann ist die dazugehörige Geschwindigkeit v:

Da r immer größer ist, als a-e, ist auch die Bahngeschwindigkeit überall kleiner als im Perihel, dem sonnennächsten Punkt.

Aufgabe: In der elliptischen Bahn, wie oben beschrieben, gibt es natürlich auch eine Untergrenze für die Geschwindigkeit. Wie groß ist diese und wo wird sie erreicht?

C.R. 19.11.2010

2. Keplersches Gesetz und eine Testfrage über den Drehimpuls

Man kann das zweite Keplersche Gesetz auch als die Erhaltung des Drehimpulses L um das Zen­tralgestirn betrachten, der gegeben ist durch L=mrv, wobei m die Masse des Planeten, r der Abstand zum Zentralgestirn und v die Bahngeschwindigkeit ist. Er liegt für die Erde bei etwa 2,7*10⁴⁰ kg m²/s, was eine unvorstellbar große Zahl ist.

Eine der üblichen Testfragen ist nun, ob dieser gewaltige Drehimpuls auch erhalten bliebe, wenn die Sonne plötzlich verschwände und der Planet fürderhin sich geradlinig gleichförmig mit der zum Zeitpunkt des „Verschwindens“ des Zentralgestirns gerade aktuellen Bahngeschwindigkeit be­wegt. Die Antwort lautet: ja, der Drehimpuls bleibt weiter erhalten und damit gilt auch weiterhin das zweite Keplersche Gesetz. Das bleibt aber nur richtig, wenn man weiterhin den Punkt der verschwunde­nen Sonne als „Drehzentrum“ annimmt, wenn man bei einer geradlinig gleichför­migen Bewegung der Erde überhaupt von einem solchen sprechen kann. Man sieht ihn ja der Erde dann nicht mehr an.

Genauso gut könnte man doch jeden anderen Punkt im Universum zu diesem fiktiven Drehzen­trum ernennen und könnte offenbar jeden beliebigen Drehimpuls ausrechnen. Man sollte also besser davon sprechen, dass der Drehimpuls bei Abwesenheit einer zweiten Masse einen völlig unbestimmten Wert hat.

Wäre er nämlich bestimmt, dann könnte man sich überlegen, was bei einem plötzlichen Auftauchen einer zweiten Masse passiert, um die sich dann die Erde bei ausreichender Dimensionierung der Werte genauso brav drehen würde, wie jetzt um die Sonne, aber dann einem diesem neuen System zukommenden Drehimpuls hätte, ihn also doch ändern würde.

Im einfachsten Fall könnte man sich vorstellen, dass die Sonne selbst für einen kurzen Moment verschwindet, wofür es nach den Positivisten schon ausreichen sollte, wenn man mal kurz von ihr wegschaut. Selbst wenn sie dann gleich, genau am gleichen Ort wieder auftauchen würde, wäre die Erhaltung des Drehimpulses im Eimer, da sich die Erde bereits aus ihrer Bahn begeben hätte, einen Moment ohne Bremsung durch das Gravitationsfeldes sich etwas weiter weg begeben hätte und sich auch energetisch beim Wiederauftauchen der Sonne in einem anderen Zustand befände, sie hätte nämlich plötzlich eine höhere Energie, weil sich die kinetische nicht geändert hätte, wohl aber die potenzielle gestiegen wäre, wie wir unter 1. Keplersches Gesetz gesehen haben,

Dieses plötzliche Auftauchen einer Masse inmitten anderer Massen, die zum Beispiel Planeten werden sollen und nur so vor sich hinfliegen oder gar stehen, erfordert also Energie, die man vielleicht fälschlich den dann neugekürten Planeten zuordnet, die in diesem Geschehen doch eher eine passive Rolle haben.

Da es nun sowieso Energie erfordert, so aus dem Nichts aufzutauchen (E=mc²), was ja nicht hypothetisch ist, sondern geht, kommt es vielleicht nicht so darauf an, auch noch für die poten­zielle Energie der Planeten zu sorgen, deren Sitz man aber eher im Zentralgestirn sehen sollte und die man sich am besten als eine kleine Zusatzmasse vorstellt.

Frage: Was würde in diesem Bild passieren, wenn diese potenzielle Energie, wo immer sie auch lokalisiert sein möge, verloren ginge und im Ergebnis auch keine Veränderung der kinetischen Energie zu verzeichnen wäre?

C.R. 19.11.2010

1. Keplersches Gesetz oder warum uns GOtt elliptische Bahnen bescherte

Mit Kreisbahnen der Planeten wären wir deutlich besser bedient, so meinte ein Schüler letztens, weil man sie sehr einfach berechnen kann. Gern würde man ihm Recht geben, aber da sich GOtt aus anderweitig zu erörtenden Gründen entschieden hatte, die Gravitationskraft indirekt propor­tional zum Quadrat des Abstands r zu machen, ergibt sich, dass ein Planet, der dem freien Fall in das Zentralgestirn derart ausgesetzt sein soll, dass er immer wieder an diesem „vorbei“ fällt, letztendlich sogar seinen Abstand zum Zentralgestirn gar nicht ändert und eben um diesen kreist, eine Geschwindigkeit quer zur Verbindungslinie der beiden Himmelskörper haben muss, die indirekt proportional zur Wurzel des Abstandes r ist. Je weiter der Planet außen, desto langsamer ist er. Dann hatte GOtt auch noch an die leidige Energie zu denken und wusste, dass er den Schülern besonders mit der sog. potenziellen Energie Schwierigkeiten machen würde, nicht nur wegen der Rechtschreibung. Diese kann man ja eigentlich nicht dem Planeten selbst zuordnen, sondern nur dem ganzen System. Wenn so ein Zentralgestirn beliebte, einfach aus dem Nichts aufzutauchen, wäre sie plötzlich für den armen Planeten da, die potenzielle Energie. Er könnte ja nach und nach richtige (kinetische) Energie gewinnen, wenn er sich dem Zentralgestirn annähern würde. Die potenzielle Energie ist nun indirekt proportional zum Minus des Abstands r, was ein bisschen schwer vorzustellen ist. Aber lassen Sie sich gesagt sein, dass sie zunimmt, wenn der Abstand sich vergrößert.

GOtt versucht also, bei den Kreisbahnen zu bleiben, doch er gerät bei seinen Überlegungen bald in das folgende Dilemma: Wenn sich die Geschwindigkeit so eines Planeten verringert, z.B. durch den Zusammenstoß mit einem Kometen (solche Vorfälle lassen sich auch nicht in der „besten aller Welten“ vermeiden), dann müsste der Planet fürderhin auf einer Bahn kreisen, die etwas weiter vom Zentralgestirn liegt. Diese hätte dann allerdings eine höhere potenzielle Energie, die nur durch eine weitere Verlangsamung ausgeglichen werden könnte, denn die Summe von potenzieller und kinetischer Energie muss, wie wir wissen, erhalten bleiben. Es käme also ein Prozess in Gang, bei dem die kleinste Störung dazu führt, dass sich der Planet immer weiter verlangsamt, irgendwann zur Ruhe käme und geradewegs in die verfluchte Sonne stürzen würde.

Spielen Sie doch auch einmal GOtt und stellen sich beispielsweise vor, was passierte, wenn der Planet kurzzeitig beschleunigt, statt abgebremst würde. Ist dieses Szenario nicht noch katastro­phaler?

Musste er uns da nicht diese verzwickten Ellipsenbahnen zumuten? Da verhält es sich nämlich bei so einem gedachten Zusammenstoß so, dass der Planet in seiner neuen Bahn zeitweise näher an das Zentralgestirn gelangt, also die potenzielle Energie abnimmt, aber er so schnell wird, dass er sich teilweise wieder aus der Anziehungskraft der Sonne herauswinden kann und genau wieder am gleichen Ort ankommt, von dem er ausgegangen ist. Das liebt GOtt, diese Wiederkehr an den alten Ort, die sogar schneller vor sich geht, als vor dem Zusammenstoß.

Man kann sich leicht durch eine Computerberechnung überzeugen, dass bei jedem anderen Potenzial als dem 1/r Potenzial, wie er es für die Gravitation festlegte, eine solche Wiederkehr nicht schon nach einem Umlauf, sondern erst nach mehreren erfolgt, was dann die Frage beantwortet, warum die Gravitationskraft proportional 1/r² ist und nicht zum Beispiel 1/r^1,8. Und so sah GOtt: Das Einfache ist auch das Gute!

C.R. 18.11.2010

Ein Würfel an einer schrägen Stufe – sein Hin- und Rückweg

Eine untere Ebene und eine obere Ebene sind durch eine Schräge verbunden, die einen Neigungs­winkel α zur Horizontalen hat. Ein Würfel mit einer Kantenlänge a, die kürzer als die Schräge ist, wird so an diese gestellt, dass seine unterste Kante gerade an der Knicklinie zwischen unterer Ebene und Schräge anliegt und der Würfel mit seiner vollen Grundfläche auf der Schräge steht. Dazu muss α kleiner sein als 45°, sonst würde der Würfel zurückkippen. Die Höhe des Schwer­punktes des Würfels über der unteren Ebene ist dann a geteilt durch Wurzel 2 und multipliziert mit einem Faktor, der der Cosinus des Winkels 45° – α ist.

Nun wird der Würfel an der Schräge nach oben geschoben, ohne dass ein Drehmoment ausgeübt wird. Seine vorderste Kante ragt bereits über die obere Ebene hinaus, aber erst, wenn der Schwerpunkt über die Knicklinie zwischen Schräge und oberer Ebene geht, würde der Würfel kippen. Wenn sich der Schwerpunkt genau über dieser Knicklinie befindet, hat er eine Höhe über der oberen Ebene von a/2 geteilt durch den Cosinus des Winkels α.

Ist der Würfel erst einmal auf die obere Ebene gekippt, ist die Höhe seines Schwerpunktes über der oberen Ebene natürlich nur noch a/2.

Wird der Würfel nun wieder zurückgeschoben, wieder ohne ein Drehmoment auszuüben, dann beschreibt er einen anderen Rückweg. Er bleibt zunächst mit seiner Grundfläche auf der oberen Ebene, bis der Schwerpunkt diesmal über die Knicklinie zwischen oberer Ebene und Schräge geht. Erst dann kippt er und würde sich bei ausreichender Reibung in einer Lage befinden, bei der genau die halbe Grundfläche auf der Schräge liegt und der Schwerpunkt eine Höhe über der oberen Ebene hätte, die nunmehr a/2 multipliziert mit dem Cosinus des Winkels α ist, also in jedem Fall niedriger.

Bei den entsprechenden Bedingungen könnte der Würfel jetzt in seine Ausgangslage zurückkehren.

Können Sie sich die Sachverhalte anhand einer Skizze klarmachen?

Preisaufgabe: Jemand behauptet, er könne auf dieser Basis ein Sperrgetriebe bauen, wo es außer dem Würfel kein bewegliches Teil gibt, eine Vorrichtung also, bei dem man den Würfel von oben zwar herunterschieben kann, aber nicht auf die obere Ebene hinauf. Berechnen Sie dazu die Höhen, die die Oberkante des Würfels in verschiedenen Lagen hat und leiten Sie eine Formel für deren jeweiliges Maximum her. Bei welchem Winkel α ist deren Differenz am größten?

C.R. 18.11.2010